Összefoglaló áttekintés, a rendszerelmélet gondolkodási kereteinek evolúciója
Ebből az egységesítő, fejlődésében tekintő szemléletből is érdemes a szabályozások történetét átgondolni, az előbbieket némileg ismételve és további összefüggéseiben kezelve.
A rendszerek szabályozásának alapfeladata a rendszer stabilitásának biztosítása. Ezzel együtt kell törekedni a rendszer céljainak megfelelő minőségi jellemzők elérésére, továbbá arra, hogy a rendszer várható mértékű belső és külső zavarások, az alapbeállításoktól történő eltérések hatására ne veszítse el stabilitását és ne térjen el lényegesen a kívánatos minőségi jellemzőktől.
A rendszerek viselkedésének vizsgálatához és a rendszer tervezéséhez matematikai-számítástechnikai modellek készülnek. Ezek alapproblémája, hogy a rendszerek dinamikus viselkedése általában nemlineáris, míg számítási eszközeink lineáris feltételezésekre épülnek. Különösen jelentőssé válik ez a megkötés bonyolult, összetett rendszerek modellezésében, mert a lineáris feltételből adódó szuperpozíció a nemlineáris viszonyokban nem érvényes.
Bár a komplex számok fogalmait már a 16. században kezdték alakítani és a komplex változós függvénytanét a 18. században, a newtoni dinamikában ezeknek nem volt szerepe, sőt a 19. század első, a szabályozott gőzgépekhez fűződő kezdődő elméleti modelleknek sem volt erre az absztrakcióra szükségük. A komplex változós függvények alkalmazását először a huszadik század átviteltechnikája és a második világháborús időszak szabályozási feladatai tették szükségessé. Az első jelentős eredményeket a két feladatcsoport összetett problematikája, a lokátoros irányítás gerjesztette. Ezek az eredmények képezik a mai szabályozástechnikai gyakorlat technikájának alapjait.
A komplex változós reprezentáció vezetett a rendszerdinamika kettős, időbeli és frekvencia-függő megjelenítéséhez, a kettő azonosságainak és különbözően felhasználható sajátosságainak gazdag analíziséhez és szintéziséhez, az eredeti newtoni reprezentáció hatalmas bővítéséhez.
A komplex változós függvénytan reziduum tétele, mint a Stokes-Gauss áramlástani összefüggés matematikai reprezentációja lett a klasszikus szabályozáselmélet stabilitásviszonyainak elméleti és számítási alapja. Ehhez fűződnek az analitikus függvényekkel leírt dinamikus jelenségek értelmezései, a lineáris differenciálegyenletekkel reprezentált változások karakterisztikus egyenletei gyökeinek, a pólusoknak a szerepe a stabilitás vizsgálatában.
A közelítő eljárások a rendszerek és feladataik bonyolultságának során alakultak
A feladatok bonyolultságának növekedésével világossá vált, hogy a hagyományos módszerek input-output viszonyai nem mindig adnak kellő felvilágosítást a rendszerek állapotáról és ez a felismerés vezetett az állapotterek fogalmi rendszeréhez, az input-output és a többi, mérhető, becsülhető állapotjellemzők egységes kezelésének kanonikus egyenleteihez.
Az állapotegyenletek mátrixalakban reprezentált formái váltak a további számítások alapmódszerévé, a linearitás és a nemlinearitások közelítésének technikájává.
Az állapotleírások sugallták a szabályozhatóság és megfigyelhetőség fogalmi és számítási feltételeit, a megfigyelhetőség a kimenetek mérési adataiból az állapotváltozók kezdeti értékeinek meghatározhatóságát vizsgálja, a szabályozhatóság a rendelkezésre álló eszközökkel a folyamatba való beavatkozás lehetőségét.
Az állapotmódszerek tartalmazták a rendszereket befolyásoló zavarásokat és sugalmazták azok szűrési módszereit, elsősorban a Kalman-szűrőket.
Az állapot-alapú szűrés folyamata és bekapcsolása a visszacsatolás rendszerébe lehetővé tette az állapotbecslések folyamatos korrekcióját és a lineáristól mérsékelten eltérő viszonyok követését.
Még ugyanebben a klasszikus, a múlt század hatvanas éveitől a mai időkig fejlődő gondolati folyamatba voltak illeszthetők a stabilitáson túlmenő minőségi követelmények. Ezeket az állapotok idő- és frekvencia folyamatából számított, általában kvadratikus normáival írják le és csatolják a lineáris feltételek alapján a szabályozás hatásláncához. Ebből az összefüggésből kiindulva határozzák meg a minőségi követelmény-elemek stabilitásőrző paramétereit, úgy számítva, hogy a kiegészített rendszer elemei relatív prímek, azaz egymás stabilitását nem befolyásolók legyenek (Youla-parametrizálás).
A huszadik század nyolcvanas évei új kihívásokat idéztek: a szabályozandó rendszerek komplexitását és a minőségi követelmények radikális növekedését összekötve azzal az igénnyel, hogy a rendszerek a várható zavarási, üzemi változási körülmények között is megfelelően működjenek. A változások másik mutatója a számítási lehetőségek nagyságrendjének forradalma. Mindez új, az előzményekhez is illeszkedő, de azoktól radikálisan eltérő gondolkodást gerjesztett.
Ennek vezérfonala olyan terek és tér-transzformációk keresése, melyek e feladatok modellezését és számítását támogatják. Az absztrakt terek a rendszerelmélet eddigi fejleményeinek is részesei voltak, hiszen alapvető két és háromdimenziós térélményünk és annak geometriája a mozgás-élmény eredménye volt, a szabályozáselméletben kezdetben az eukleidészi tér metrikus változataival, a komplex számsíkkal, majd a Banach-Hilbert terekkel.
Az eddigi bevezető is főleg ennek a fejlődő térélménynek az illusztrálására szolgált. Így a következő logikus lépés a projektív geometria felhasználása volt, amely a csoportelmélet Klein-i geometriai értelmezése szerint olyan transzformációs lehetőségeket gyűjt egybe, amelyek leképezési és számítási hasonlóságokkal szabadságot adnak a számítási technikák számára. Ezek előképei voltak az ősi árnyékvetítési és csillagkövetési számítások.
A projektív geometria olyan arányokat, mozgásképleteket rögzít, amelyek az adott alakzatcsoporton belül adnak leképezési és számítási szabadságot. Ezek a változás-képletek sugallják azt, hogy bonyolult rendszerábrázolási munkáinkban a visszacsatolt rendszer alapképét egyetlen, egyszerű elemmel reprezentáljuk és a matematikai reprezentációban ugyanezt a mátrixalgebra egy tag-elemeként kezelhessük.
Ugyancsak ez a szemlélet segíti bonyolult rendszervázlatoknak az egyszerűbb elemekre történő bontását, a lineáris frakcionális transzformáció műveleteit, amelyek az állapot-tér sémáiból következve jeleníthetők meg. A további lépések egyszerűsítésére ezért a séma felbontódik egy folyamathurokra és egy zavaráshurokra, a megfontolásokban alkalmazott K sémákra.
Szabályozási feladataink számára a Möbius-transzformáció és ezzel is kapcsolatban a metrikus Hardy-terek a lényegesek.
A mi számunkra két metrika érdekes különösen, a minőségi jellemzőket összegező H2 és Hinf integrálok, amelyek mind az időbeli, mind a frekvenciamenetben leírt átviteli függvényekre érvényesek.
A Möbius-transzformáció az eltolás, zsugorítás-növelés és forgatás mechanizmusa, megőrizve a lineáris összefüggések egymás közti viszonyainak alapjellemzőit. Ezzel végezzük el a végtelenbe futó komplex változós terek stabilis állapotokat jelző félsíkjának transzformációját az egységsugarú körbe, azaz olyan zárt metrikába, amely jól kezelhető a stabilitás és a minőségi ellenőrzés szempontjából. Az egységkör, illetőleg többdimenziós esetben a Hardy-terek egységgömbjeinek tulajdonságai számos olyan lehetőséget nyitnak, amelyek a matematikai analízis több korábbi eredményére támaszkodhatnak.
A bonyolult rendszerek kapcsolt viselkedésének elemzése felhasználja a projektív geometria csoportösszefüggéseit és harmonikus viszonyait. A linearitástól az eltérés a rendszerek változásainak viszonylag szűkebb tartományaiban kezelhető. Ezeket a tartományokat a mérhető és becsülhető állapotok tagolják, ebben is segít az állapottér szemlélet.
A vázolt frakcionált séma-formalizmus és lineáris közelítés ad lehetőséget a mátrixalgebra és a gépi szimulációs programok kezelésére, bár a bonyolultság növekedésével és a feltételek szaporodásával ezekhez is gyakorlott és felkészült szakmai erő szükséges.
Ezek a módszerek segítik a robusztus szabályozásnak már többször említett feladatát, azaz olyan mértékű eltérések, modellezési bizonytalanságok tűrését, amelyek a rendszer stabilitását és minőségi működését meghatározható korlátok között tartják. A linearitási és az ezzel kapcsolódó korlátosan kis hatású feltételek teszik ezt lehetővé, ami egyben utal arra, hogy főleg a tervezés feladataiban még igen sok elméleti kutatási munka áll előttünk.
Ezek között ígéretesnek és az eddigiekből, főleg a projektív geometriára vonatkozókból következően felvetődik a nem-eukleidészi, hiperbolikus geometriák vizsgálata. Az eukleidészi párhuzamos trajektóriák, vetítési vonalak ezekben összetartanak és így is a szokásostól elérő, rugalmasabban kezelhető metrikákat adhatnak, esetleg adaptívabb felületeket szolgáltathatnak a lineáristól eltérő feltételek számára.