Zérusok, pólusok, tervezési megfontolások
A rendszerek változásainak egyik matematikai reprezentációja az átviteli függvény, amely a bemenet és kimenet közötti átalakítást írja le. Ez a bemenet-kimenet viszony egy törtfüggvény, amelynek számlálója a bemeneten érzékelt állapotokat, a nevezője a kimenet állapotait generálja. A két állapotnak a működés szempontjából kritikus, szélső értékeit a számláló gyökei, a zérusok és a nevező gyökei, a pólusok adják.
Ha a rendszert lineáris differenciálegyenletekkel modelleztük, a zérusok és pólusok a differenciálegyenlet megoldásának szélső értékei, a bemeneten az az állapot, amikor a legnagyobb hatás sem tud elmozdulást indítani, a rendszer végtelen tehetetlenséget mutat, a kimeneten pedig a legkisebb hatás is olyan elmozdulást, ami a rendszeren belül nem megállítható, a rendszer elveszti stabilitását.
Ha a modellezés az eukleidészi jellegű végtelen komplex számsíkon történik, akkor a stabilitás határait a számsík negatív félsíkja mutatja. Az átviteli függvénnyel jellemzett differenciálegyenlet megoldásában szereplő exponenciális függvény negatív kitevővel tart a nyugalmi állapot felé, a pozitív kitevő a stabilitást elvesztő végtelenbe visz. Ez az exponenciális robbanás ma már minden rendszerelméletet alkalmazó szaktudomány mindennapi szókincsében szerepel. A tervezés és utána a szabályozás feladata, hogy a rendszert ebben a valós tartományban megőrizze.
A folyamatok áttekinthetősége, számíthatósága érdekében ezt a végtelen működési síkot transzformálják inverzével egy egységsugarú körbe, illetőleg lemezbe, ahol a végtelen annak inverzében, a kezdőpontba összpontosul, a jelenségek pedig a kör belsejébe és annak kerületébe.
Bonyolultabb esetekben, amikor a jelenségek már nem követhetők egyszerűbb áttekintéssel és ennek megfelelő számítási eljárásokkal további transzformációkat is alkalmaznak, így az eukleidészi jellegű síkok helyett hiperbolikus tereket, mindig azt keresve, hol lehet a valóság bonyolultságát jobban leképezni, számíthatóbbá tenni. Ezért mutattunk be néhány ilyen tértranszformációt és ezért hívjuk fel a figyelmet arra, hogy mindez, a legtermészetesebbnek tűnő, rutinszerű ábrázolás is „csak” modellezés, ami nagy gondolkodási szabadságot és egyben a valóságtól történő veszélyes elszakadást is magában rejt. Ez a megfontolás az oka a bevezető filozófiai utalásainak.