Hiperbolikus terek
A geometria forradalma szerves része lett annak a matematikai alakulásnak, amely a csoportelmélet és a transzformációk elméleteinek kidolgozásával hatalmas mértékben kitágította az eukleidészi örökség világszemléletét. Tanulságos, hogy ez a tisztán elméletinek tűnő és elvont gondolkodási átalakulás milyen mértékben érintette a tizenkilencedik század egymással együttműködő és egymásra támaszkodó nagy matematikusait. Ezek az új, sokszor nehezen elfogadható szemléletváltozások csak a huszadik században találkoztak a fizikai valósággal, annak elméleti és gyakorlati tényeivel.
A csoportelmélet a matematikai számításokban és a geometriában kidolgozta azokat a feltételi rendszereket, amelyek a transzformációk, tehát számítási és térelgondolási, geometriai kezelésére és mai gyakorlatunk számára alkalmazhatók. A csoportok elméletei rögzítették azokat a műveleteket, amelyek a transzformációk során a csoportokon belül megőrzik tulajdonságaikat és így szabaddá teszik azoknak a számításoknak és térbeli átalakításoknak a választását, amelyek az adott feladatok számára a legmegfelelőbbek.
A változást mutatja, hogy a transzformációk során változnak a szögek viszonyai így a korábban természeti törvénynek tekintett háromszög szabáy. A transzformáció a gyakorlatban is segíti a tárgyi formák alakítását.
Amegszokott formák folytonos változtatási lehetőségeit a kúp szeletelése, a fénykúpok nézetei érzékeltették és az így kapott képek tanulságait. A kúpszeletek módosulásai mutatták meg az ellipszisek, a hiperbolák és parabolák sajátosságait, számításaik tették követhetővé az égitestek mozgását és az okok és kölcsönhatások szövevényeiben a további transzformációkkal mindenféle rendszer változásainak fontos megértési és modellezési lépéseit.