Transzformációk
A már tárgyalt idő-frekvencia transzformációk mellett a rendszerelmélet számára legfontosabb a Möbius-transzformáció és annak alkalmazása a Hardy-terekhez fűződő alkalmazásokban.
A Möbius transzformáció geometriai jelentése az eukleidészi térben szokásos kartéziánus, tehát ortogonális koordinátarendszerben felvett jelgörbe tereknek a forgatásos és nyújtásos-zsugorításos átalakítása. Ezzel tudjuk a végtelenbe futó jeleket egy olyan körbe átformálni, amelyben számításaink további támogatását nyerhetjük. Ez a kör az inverzió, tehát például a visszacsatolás forgatója.
A Möbius transzformáció az analitikus függvények esetében megtartja azokat a tulajdonságokat, amelyek az azokkal leírt folyamatok szempontjából lényegesek. Ez egy csoport-tulajdonság, a Galois-i csoportelmélet szempontjából és kritikus feltétele az így reprezentált folyamatok elemzésének.
A számíthatóságot támogatja két, már az előzőekben kiemelt, az analitikus függvényekre érvényes következmény: az egyik, hogy a folyamat változását leíró differenciálegyenlettel hasonló, azonos csoportokba tartozó polinom-egyenletnek, a karakterisztikus egyenletnek a gyökei azonosak a differenciálegyenletével és így számíthatjuk azokat a pólusokat, amelyek a folyamat tulajdonságait, így stabilitását, egyéb érzékenységét meghatározzák. A pólusok az egyenleteknek és így a folyamatoknak az egyedi, szinguláris munkapontjai, amelyek a működések során kerülendők. A pólusok ismeretében a leíró differenciálegyenlet szorzat alakjában is megjeleníthető, ami ahhoz a Blaschke-szorzathoz vezet, ami a későbbi, a szabályozandó rendszer szempontjából fontos minőségi normákat szolgáltatja. A Blaschke szorzat különbség-elemeinek abszolút értéke a kritikus pólusoktól való távolságokat is mutatja.
Itt térünk vissza alapmodellünkhöz, ahhoz a rendszermodellhez, ami a bemenetek és kimenetek jeltereinek kapcsolódása egy műveleti, operátor rendszer által. Az operátorral tehát magát a rendszert, annak átalakítási transzformációs viselkedését reprezentáljuk, azt a halmazt, amin a műveleteket végezzük. Az alapmodellben az operátor jeleket átalakító működését modellezzük időbeli eltolódások mentén. Ez az eltolódás, a shift operátor gondolatában megfelel a dinamika számítási alapeszközének, az infinitézimális számításnak, ami kis, differenciális lépésekkel végzi a változási műveletet és ezek integráló összegezésével értékeli a változások eredményét, a rendszer állapotait. Így kapcsolódik az állapot-reprezentáció a jelterek és az operátor-terek világához, a Hankel és Toeplitz mátrixműveletekhez. A változások egymást követő mátrixelemei a sztochasztikus szemléletben rejtett Markov-folyamatokat reprezentálnak, az állapottér szemléletben pedig az állapottér transzformációs mátrixainak, az A,B,C,D reprezentációnak a viszonyait.
Az operátorok tere számára olyant keresünk, ami feltételeinknek felel meg. Az analitikus függvények tere ilyen. Követelményünk, hogy a stabilitásnak eleget tevő komplex félsíkon (azaz a negatív kitevőjű komplex exponenciális függvény szerinti, időben elenyésző módon változó terében) és az ezt leképező kör-reprezentációban egyaránt számítható véges értéke legyen. Ezek a Hardy-terek, az eukleidészi és Lebesgue-i terekben ábrázolható, véges, maximális értéket elérő analitikus függvények terei. Ezekre a tulajdonságokra és némileg a további lehetőségekre mutatott rá közel száz éve Riesz Frigyes, olyankor, amikor a mai rendszer- és szabályozáselmélet problematikája még alig merült fel.
A körben történő leképezésnél az analitikusság, a mértékekkel történő lehatárolhatóság és az áttekinthetőséggel is együttjáró gondolati szépség igénye jelenik meg. Itt a kör kerülete, mint határvonal, a kör belsejében leképezett folyamatok szuprémumát, felső határértékeinek halmazát jelzi.
A két leképezés közül az egyenes trajektória az időbeli lefolyást, a kör kerülete, a megfelelő számú körbenforgással is, a frekvencia értelmezést szolgálja. Ne felejtsük el, hogy a valódi világ folyamatait mindkét leképezés virtuális módon mutatja, de a számítások számára az adott körülményeknek, eszközöknek megfelelő, gyakorlati módon.
Így jutunk el a folyamatoknak a Hardy-terekben történő leképezéséig és azokban a Hinf, végtelenbe futó, azaz a gyakorlatban a nyugalmi állapot felé tartó, szupremális, normájáig. Ez a normaintegrál mintegy összefoglalja a folyamat szabályozási feladatait, a stabilitás, annak robusztus működést biztosító tartományait, továbbá a folyamat esetleges minőségi jellemzőit. A H2 és Hinf integrálalak-kifejezés lehet a z optimalizálás kiinduló képlete.
A két projektív reprezentáció transzformációjának, a komplex síkbelinek és a körben foglalónak a képi, geometriai megvalósítását a Möbius-transzformációval támogatjuk, ez az eukleidészi tér alakzatait nyújtja, zsugorítja, forgatja, mint azt egy háromszög példáján is láthatjuk a Möbius transzformációt mutató képi megjelenítésben. A csoporttulajdonságok változatlansága és módosulása segíti gondolkodásunkat és számításainkat.
A kétféle kép, az időfüggvény a félsíkon, vagy a körben a frekvenciafüggő ábrázolás izomorf és izometrikus, a távolságok vonatkozásaiban invariáns kapcsolatát a Fourier-Laplace transzformációk végzik, a végtelenbe futó eredmények (normák) azonosságát a Parseval tétel mutatja.
Itt is felhívhatjuk a figyelmet egy további gondolkodási finomságra, a Fourier transzformáció és a Laplace transzformáció különbözőségére. A Laplace tarnszformáció a Fourier formula átalakítása során bevezeti az általában s-sel jelölt, komplex differenciálváltozót és ezzel a változásokat, a mozgások energiaviszonyait is módosító eltolási értéket. Ennek az eltolásnak a mély fizikai értelmét a huszadik század egyik legmélyebben gondolkodó matematikusa, Emily Noether elemezte.
Számítási tereink, a röviden bemutatott Hardy terek és az távolságokat egy hatvány-összefüggéssel általánosító, normált Lebesgue, azaz l-el jelölt terek és a Hardy- terek kapcsolatait és transzformációit, a bemenő és kimenő jelterek és az operációs rendszer-állapotterek egymásközti viszonyait mutatja a matematikai részletek folyamának ábrája.
A Hardy-terek felhasználásában, ahogy erre már utaltunk, a négyzetes és az itt hivatkozott végtelen hatványú normák szerepelnek, a négyzetesek a folyamat minőségi jellemzőit, a végtelen pedig a folyamat általános, döntő tulajdonságait mérik.
Az operátorterek mértékjellemzőinek ismeretében visszatérhetünk az operátormodell függvényábrázolásainak számítási feladataihoz, egy újabb hangsúllyal megismételve az analitikus feltételrendszerhez fűzötteket. A függvény-leképezések is mutatják a klasszikus és a modern rendszerelmélet között alapvető tartalmi egyezéseket.
Az operátor modellben működő, átalakító függvények, mint hangsúlyoztuk, analitikusak, akárhányszor differenciálhatók, azaz e differenciálformulákkal teljesen leírhatók. A linearitás lehetővé teszi, hogy ezeknek a differenciálegyenleteknek a megoldásában a megfelelő, karakterisztikus hatványegyenleteket használjuk, a gyökök, az egyenletek zérusértékei azonosak és azonos algoritmusokkal, programokkal számíthatók. Ezek a gyökök, a zérushelyek és a pólusok, a rendszer működésének kritikus, irreguláris pontjai, a rendszer tervezésénél és beállításánál kerülendők, de a rendszer működésének egyéb, minőségi jellemzői szempontjából, például az alkalmazkodás sebességének befolyásolásában, fontosak.
A rendszerfüggvények gyökeinek (pólusainak és zérushelyeinek) ismerete így a szabályozástechnika alapeszköze, a függvény leírható ezeknek a gyököknek a frakcionalizált, szorzatalakjában, amiben a szorzatelemek abszolút értékei a pólusoktól mért távolságok. Itt megint előtűnik a távolság-normák kiemelkedő gyakorlati szerepe. A frakcionális szorzatalak visz át a Blaschke-szorzatok világába, ami további számítási lehetőségeket nyújt.
Mint arra utaltunk a normák világában és ezért a technikai gyakorlatban a második, eredeti távolságnormának és a végtelennek, a rendszerművelet befejezésének a normái a számunkra különösen fontosak. Ezek optimalizálása, az ábrázolásban, elhelyezése az egységkörben lehet a szabályozás feladata.