Számítási terek
A számítások a különböző reprezentációkhoz alkalmas terekben történnek. A kiindulás természetesen az Eukleidész-i, annak sok dimenzióra kiterjesztett általánosításaival. Megjegyezzük, hogy ez a térszemlélet is változott az idők és a tapasztalatok és felismerések nyomán. Így alakult a harmadik dimenzió szemlélete, a horizont és a perspektíva, és ezzel a világképek ábrázolása. A kartéziánus, ortogonális koordinátarendszer is ennek a fejlődésnek volt nagyhatású mozgatója. A terek relativitásának fogalmai a tizenkilencedik századdal kezdtek formálódni, ezzel kezdődött a modern matematika és fizika története.
Igy, a gondolati alapokra visszautalva, az állandóságok és változások absztrakciós köréből származnak a változások terei, azok dimenziói és a változásoknak, mint sokfajta útvonalaknak a mértékei, a mértékek normái. A változások elvonatkoztatási köréből jöttek létre azok a transzformációs műveletek, amelyek a változásokat ezekben az absztrahált terekben leírják. A megszámlálás pedig az algebra, annak szabályrendszere, hogy a megszámlálások hogyan és milyen megkötöttségekkel kapcsolódhatnak. A változások fogalmai kapcsolták a múlt, a jelen és a jövő elválasztásait, azok kapcsolódásait a terekhez és formálták valamennyi ősi és mai képzetünket és kételyeinket ezekhez a történésfolyamatokról.
Ez a gondolkodási folyamat és tekintet hozta létre mindazokat a közelítő, modellezési eszközöket, amelyek a modern rendszerelméletet is alakítják és az eukleidészi térből származnak, azok változatos távolsági normáit és a távolságok normái alapján számított értékelési módszereit, az idő és a gyakoriság egymásba olvadó modellviszonyait, az elemi számlálások és eseménykapcsolatok sokdimenziós számfogalmait.
A folyamatok összegezésének legegyszerűbb modellje a mozgás, annak linearitása és az egydimenziós számlálás generálta a további bonyolultságok számításának közelítő eljárásait, így a mátrixtechnika módszereit is.
A távolság és a dimenzió fogalmának általánosításából születtek a különböző normafajták. Ezek is tapasztalati modellekből táplálkoztak, a lépték és a skála megnevezés is erről árulkodik. Eredetileg a kétdimenziós polárkoordináta rendszere működött, a távolság és irány a kiindulóponttól, majd az adott centrumtól (pl. Róma). Az ortogonális, „derék” szögű koordinátarendszer és nézetvilág és a harmadik dimenzió tekintete is az építkezésekkel kapcsolódva született. A vetítések, perspektívák, ábrázolás problémák innen később jelentkeztek, tovább felvetve a távolságok viszonylagosságának a távolság leküzdésével is kapcsolódó tudatát.
Mindez felszabadította a gondolkodást az elemi kiindulópontoktól és élményvilágoktól, de az általánosító törekvések a logikai következetesség érdekében úgy születtek, hogy az elemi meghatározások, mint egyedi esetek ezekbe illeszkedjenek.
Az általánosítások menete két főirányú volt: az egyik a dimenziószámot növelte, annak a kapcsán is, hogy a rendszerek adott állapotait a hely mellett számos fizikai és kémiai jellemző határozza meg. A másik irány a távolságrészek összegezésének kérdését boncolta, figyelembe véve, hogy az egyik helyről a másikra való eljutás és az útvonalak nehézségei távol állnak az egyenletességtől.
A koordináták viszonylagosságainak és általánosabb használhatóságuknak a lehetőségeit sugallták a tükrözési, forgatási gyakorlatok, ezek között az egyes koordináta megoldások egymás közötti dualitásai, relativitásuk. A komplex változós tér és a végtelen síkok kapcsolatai így születtek. A koordinátázás és skálázása eredményezte a normák és a mértékek fogalmi tisztázását.
Ezek összegezésére és átlagolására születtek a különböző távolság-hatványozó és gyökképző formulák, továbbra is figyelemmel arra, hogy az elemi eset, a kétpontos távolság számítása ezekben a keretekben is változatlan maradjon.
Kitüntetett szerepet kapott ezért a formulák négyzetes, másodrendű alakja és a menetközbeni út és folyamatértékelések mellett egy új fogalomrendszeré, amely a végtelen kiterjedések nagyon gyakorlativá vált problémáját kezelte. A gyakorlati probléma a kezdeti és a végállapotok közötti út értékelése és ebben a végállapotok, azaz az új állandósult, nyugalmi állapotok tekintete, így a rendszerek szempontjából döntő, stabilitási állapot elérése, fenntartásának igénye.
Itt kapcsolódnak a rendszerek bonyolultan összefüggő állapotait leíró módszerek, az állapotok reprezentációs terei változatos képeinek elméleti, matematikai eljárásainak a feladata, a rendszerek használatának és robusztus, zavartűrő, a felhasználás szempontjából kedvező stabilitásának ügyei. A végesnek és a végtelennek elméleti és gyakorlati kapcsolata, filozófiai és mérnöki viszonya itt tükröződik. Az eukleidészi tér általánosabb és konkrétabb fogalom-kiterjesztést kapott a normákkal és mértékekkel és a most említett viszonyaikkal a végtelenhez.
A változásokat tekintő szempont szerinti távolság fokozatok egy-egy sort alkotnak, ami azért fontos számunkra, mert a csoporttulajdonságok gondos ellenőrzésével a számítások menete kiterjeszthetővé válik. Ezek a csoportok az eredeti általánosításoknak megfelelően tereket képeznek. Ezek a terek a térelemek végtelenbe futó konvergenciája miatt teljes terek, azaz a határaik is olyan részei a térnek, amelyek az egész tér tulajdonságaihoz tartoznak. A végtelenbe futó konvergencia érthető a végtelennek, azaz az új állandósult állapotoknak ebben azonosult tulajdonságával. A térhatárok befogadása különösen fontos lesz akkor, amikor a komplex változós végtelen síkot értelmezési és gyakorlati számítástechnikai célokból egységsugarú körökbe transzformáljuk.
A távolság változatoknak is megtaláljuk a mindennapos példáit. Az 1-es normának a legtisztábbra egyszerűsített egyenes utat, a következőre a Manhattan-léptéket, amely az épülettömbök közötti, szaggatott útvonalat értékeli, a végtelen felé haladást pedig a sakktáblán az egylépéses király lehetőséget arra, hogy egyik kockából bármelyik, tetszőleges kockába eljusson.
Ezek az esemény- és számítási terek akkor válnak számunkra élőkké, ha az események valamilyen hatásokra következményként alakulnak. Hasonlatként idézhetjük a newtoni mozgáselméletet, amelyben a testek mozgását külső erők indítják és pályájukat befolyásolják. A rendszerek megfigyelése és szabályozása is ennek a sémának megfelelően történik. A csoportfogalmak a számítási műveletek lehetőségeit szabják meg, a valós és az absztrakt világ ezeket a műveleteket halmazokon gyakorolja, azok általánosított és konkrét tulajdonságai szerint.
Számítási, matematikai modelljeink és gyakorlati megfigyelési lehetőségeink korlátai arra szorítanak, hogy a sémát lineáris modellekkel, vagy legalábbis a lineárist közelítő eszközökkel valósítsuk meg, azaz olyanokkal, amelyek az additivitást és homogenitást lehetővé teszik. Az additivitás a hatások és események független eredményeinek egyszerű összegezhetősége, a homogenitás a hatásokra történő arányos változás.
Ez az egyszerűsítés teszi lehetővé a számítástechnikailag jól kezelhető mátrixtechnika alkalmazását. Elsőként a múlt, a jelen és a jövő mátrixreprezentációs eszközeivel foglalkozunk. Az eseményeket az állapotokról kapott jelek tereinek márixai, a hatásokat a folyamatokat megjelenítő mátrixok képviselik, az időviszonyokat a Hankel- és a Töplitz mátrixok. A már jelzett alkalmazási feltételekhez és számítási egyszerűsítésekhez csatlakozik a kauzalitás hipotézis, a múlt szerepe a jelenben és a jövő kapcsolata, illetőleg függetlensége. Ezt a két, eltolást végző mátrix struktúrájában is jól láthatóan reprezentálja.
A számunkra legfontosabb tér-kiterjesztés a Banach-tereké. Ezek metrikus vektorterek, azokon értelmezett normákkal, azaz azokkal a matematikai fogalmakkal, amelyekkel az összefüggéseket számoljuk. A vektortér értelmezés magában foglalja a komplex változók függvényeit is. A véges normájú Banach-terek a Lebesgue-terek, (l-terek) az olyan Banach- terek, amelyekben a skalár szorzat értelmezve van, a Hilbert terek.
A modern rendszerelméletben, a modern fizikához hasonlóan kapnak lényeges szerepet a nem-eukleidészi terek. Ezek közül most számunkra a Joseph Fourier által bevezetett hiperbolikus terek fontosak. A hiperbolikus terekbe transzformált függvények általában inverzió útján körbe, illetőleg gömbökbe viszik át az eukleidészi tér végtelenbe tartó alakzatait és ezzel véges, jól értékelhető normákat reprezentálnak. A mi általunk alkalmazott, ilyen tulajdonságokkal rendelkező terek a Hardy-terek.
Mindezen tér-transzformációk során a választott analitikus függvényekre érvényesek a csoport-szabályok.