Analitikus függvények, komplex változó
A csoportelmélet szép és hasznos alkalmazása az analitikus függvények köre, azoknak a függvényeknek, amelyek alapvető szerepet játszanak a rendszerelmélet problémáinak matematikai reprezentációiban. Ezek a függvények írják le a lineáris és a lineárissal közelített folyamatokat azzal a meghatározó tulajdonságukkal, hogy értelmezési tartományaikon belül minden pontban Taylor-sorba fejthetően differenciálhatóak, azaz hatványsorokkal folytonos módon leírhatók. Ez a leírás a folyamat matematikai reprezentációjának lényege, és így matematikai, esetünkben számítástechnikai módszerekkel kezelhető, adott feltételek mellett valósághű modell.
Az analitikus függvények a komplex változók tartományaiban is hasonló módon viselkednek, így következtetéseink a komplex változókkal történő folyamatábrázolásoknál is érvényesek. A komplex változós reprezentáció a folyamatok fizikai valóságának azt a képét tükrözi, amely a hatások abszolút értékekkel mért nagyságát, erősítést és csillapítást, az elforgatási fázisszögek pedig a hatás időbeli késleltetését fejezi ki.
Ezért a változások reprezentálása a gyakorlatban elsősorban a komplex változós függvénytan gondolatmeneteivel és eszközeivel történik.
A komplex változós függvények alkalmazása összefüggő keretet ad az időbeli és frekvencia-tartománybeli ábrázolásoknak.
A komplex változó kétdimenziós jellege Gauss és Cauchy után kibővíti az integrálás értelmezését. A vonalmenti határozott integrál ebben az értelmezésben a változókat reprezentáló vektor által végigfutott tér lesz, aminek a belső, lefutott tulajdonságai összegeződnek az integrálban. Mivel ebben a folyamat-ciklusonként zárt tartományban pozitív és negatív területek egyaránt vannak, a folyamat csak a belső szingularitások, források és nyelők eredményét integrálja, azaz egyébként a folyamat, visszatérve a kezdő állapotba végeredményként zérus eredményt mutat. Ez a fizikai valóságban a Stokes- törvény: minden zárt áramlási tér, akár folyadék- vagy gáztér, akár elektromágneses tér, csak a térben keletkező, vagy elnyelt áramlást szolgáltatja.
A folyamatok dinamikájában ezek a források és nyelők a pólusok, illetőleg zérushelyek, matematikai alakjuk a kétdimenziós térben azok a pontok, amelyekben a folyamat rendszere szingulárisan viselkedik, minden hatást elnyel, azaz hiperstabil és ezért szabályozhatatlan, vagy a legkisebb hatásra is végtelenbe vesző választ ad, labilis lesz. Ezért a szabályozás technikája ezekre az állapot-szingularitásokra koncentrál, úgy tervezi a rendszert, hogy állapota ezektől a szinguláris pontoktól távolabbra kerüljön, vagy ezeket a hatásokat a források és a nyelők megfelelő beállításával ellensúlyozza.
A legegyszerűbb példánk lehet egy kocsi rugózása. Ha a rugózás túl merev, a kocsi a viszonylag sima úton is berázódik, rosszabb esetben törik, jobb körülmények között csak az élettartama rövidül. A túlzottan puha rugózás először az utasoknak kellemetlen, majd úgy belengeti a kocsit, hogy az ettől megy tönkre.
A klasszikus szabályozástechnika ezeknek a változóknak az ábrázolásával dolgozik, ehhez fűződnek a hagyományos Nyquist- és Bode- stabilitásvizsgálatok.