Csoportelmélet, mint az unifikálható számíthatóságok alapja
A kezdetektől fogva a matematikának és ezen belül is a geometriának és az algebrának az azonos módon tárgyalható és ennek alapján hasonló eljárásokkal számítható problémák voltak az alapkérdései. Az Évariste Galois -tól számított csoportelmélet lett a kiindulása az olyan rendszerbe foglalásnak, amely a műveletek rendjét szigorú következetességgel megalkotta és ez a gyakorlativá vált elméleti eredmény lehetett valamennyi számítástechnikai eljárásunk, rendszerekkel foglalkozó műveletünk bázisa.
A csoportelmélet meghatározza azoknak az algebrai műveleteknek a feltételrendszerét, amelyek egy adott matematikai-geometriai fogalomcsoportban előírásként jellemzőek és ezért elvégezhetőek. Ezek a műveletek az elemi számolási jellegűek, így az összeadás és az ebből leszármaztatott többi számolási művelet, továbbá néhány elemi számelméleti meghatározás, pl. az egységre és az inverzre, valamilyen módon visszafordítottra vonatkozók. Az így meghatározott műveleteket az algebra és a geometria kiterjeszti az ezekből általánosított magasabb rendű eljárásokra, így a kettő, illetőleg háromdimenziós alakzatokat általánosító magasabb számú dimenziókra és a sokdimenziós szemléletnek is megfelelő mátrix-eljárásokra, a valós számoktól a kvaterniókig és a szimbolikus műveletekkel végzett eljárásokig. A modern fizikának a mikro- és makrovilágra vonatkozó elméleteit ezek a számítási csoportmechanizmusok, azok magas szintű általánosításai teszik lehetővé, akár az elemi részecskék anyagtechnológiája, akár pedig a repüléstechnika és az űrkutatás számára.
A csoportelmélet további kidolgozásában két nagyjelentőségű, egymással kapcsolódó matematikus bővítette a lehetőségeket: az algebrában Sophus Lie és a geometriában Felix Klein. A rendszerelméletben ez a kapcsolódó kettősség végig jelen van.