Hamilton, Lie és az Erlangen-i program: a nagy unifikálások
A rendszerek tervezésének és üzemeltetésének problémái a gyakorlat síkjáról az elméleti megfontolásokig a tizenkilencedik század közepe táján, az ipari forradalommal jutottak el. Ezt a mai rendszervilág számára aktuálissá vált elméleti keretet igyekszünk összefoglalni.
A Hamilton-i szemlélet hosszú, de következetes folytatása a Newton-i mozgás-interpretációknak. Ebben a logikus folyamatban három évszázad legnagyobb matematikusai és fizikusai dolgoztak. Az alapkérdés az az egyensúly-szimmetria hipotézis volt, ami a változások okaira, lefolyásának menetére vonatkozott, ezekben a változások irányainak természetére. A mi számunkra ebben a hatalmas alkotó processzusban a Lagrange-i egyensúlyi feltétel volt a következő nagy lépés, miközben nem feledkezhetünk meg az optimális útvonalkeresésnek a brachystochron problémától a variációszámításig vezető útjáról, a Bernoulli testvérek, Newton, Huyghens, Euler és Gauss hozzájárulásairól.
A Hamilton-i rendszer három összefüggő kérdéskört egyesít. Az első a lehetséges rendszerváltozók általános fogalmi köre, ebben az energia- és a potenciál-jellegű skalár H változója és a hely-, impulzus- és időkoordinátákat általánosító, sokdimenziós változók kapcsolata. A kapcsolatokat a változók szerinti parciális differenciálhányadosok képviselik. Ez az általánosítás tette lehetővé, hogy a Hamilton-függvényeket azok megfogalmazása idején még el sem képzelt kvantumelméletben is alkalmazzák.
(Megjegyezzük, hogy a Hamilton-i H és a Hardy terek H2 és Hinf H-ja különböző fogalmakat fed, a különböző diszciplinák fejlődései viszont a maguk területén kanonizálták ezeket a jelöléseket, mi a hamiltoni H-ra kurzív jegyet alkalmazunk)
Az unifikálás második nagy eredménye az egyensúlyok kifejezése. Ezt a Hamilton-függvényeknek egy rendszeren belüli zárt összegezése, a helyzeti, (potenciális) és a mozgási energia egymás közti egyensúlyainak általánosítása tartalmazza.
A harmadik fogalom a folyamatok irányának számítási alapja, az időbeli és az egyéb koordinátákban működő egyensúlyi dinamika.
A Hamilton-i szemlélet mélyen összefügg a csoportelmélettel és annak geometriai interpretációival. A jelenségeket leíró sokdimenziós koordinátarendszerben a koordináta-transzformációk egy-egy adott csoporton belül adnak az előbbieknek megfelelő, tartalmában változatlan eredményeket. Ezt a fizikai gyakorlatban a relativitáselmélet, a szabályozáselméleti, technikai világban pedig az optimális és robusztus irányítások módszerei alkalmazzák.