A szabályozás főkérdése: stabilitás
A szabályozás negatív visszacsatoláson alapul. A folyamat kimenőjelét érzékeljük, majd összehasonlítjuk a kívánt alapjellel. A különbségi jel a szabályozó bemenőjele, amely a folyamat beavatkozójelét képezi.
Fontos tehát az információáramlás iránya, és a kör zárása.
A negatív visszacsatolásnak számos előnyös tulajdonsága van. Azonban a folyamat tehetetlensége (időállandói, holtideje) miatt csak késleltetve válaszol a bemenőjel változásaira. Ahhoz, hogy a zárt kör működni kezdjen, eltérésnek, hibának kell fellépnie, amire a visszacsatolt kör csak késleltetve válaszol. Ez a késleltetés labilis viselkedést eredményezhet, a kimenőjel „megszaladhat”, amit a szabályozó megfelelő megtervezésével mindenképpen el kell kerülni.
1. ábra Szabályozási kör
Nagy átviteli tényezők mellett a késleltetés időtartama alatt a kimenőjel értéke annyira „megszaladhat”, hogy a szabályozás már nem képes visszaszabályozni azt a kívánt értékre. A szabályozó struktúráját és paramétereit úgy kell megválasztani, hogy a szabályozás stabilis legyen.
A labilis viselkedés kialakulásának érzékeltetésére tekintsük az 1. ábrán látható szabályozási kört. Az alapjel egységugrásszerű változásakor a kimenőjel nulláról indulva növekedni kezd. A hibajel értéke egyről kiindulva csökken. Ha a szabályozó erősítése nagy, a folyamat (szakasz) bemenetén kezdetben nagy bemenőjel jelenik meg, amely a szakasz kimenőjelének gyors felfutását eredményezi. A változás dinamikáját a P folyamat és a C szabályozó dinamikája, átviteli tényezői és időállandói határozzák meg. Mikor a kimenőjel eléri az alapjel által meghatározott értéket, a hibajel nulla értéket vesz fel. A jelek azonban a rendszer tehetetlensége miatt nem állnak be azonnal a kívánt értékükre, hanem az addigi meredekséggel tovább változnak. Ha a kimenőjel túllendül előírt értékén, a hibajel negatívvá válik, ami egy idő után csökkenteni fogja a kimenőjel értékét. A szakasz és a szabályozó nagy időállandói és nagy átviteli tényezői mellett a túllendülés jelentős lehet. A rendszerben állandósult vagy egyre növekvő lengések jelenhetnek meg. A stabilitás problémáját az okozza, hogy a rendszer a rendelkezőjel (hibajel) által szolgáltatott információt késleltetve használja fel, és nagy átviteli tényezők mellett a késleltetés időtartama alatt a kimenőjel értéke annyira "megszalad", hogy a szabályozás már nem képes visszaszabályozni azt a kívánt értékre. A szabályozó struktúráját és paramétereit úgy kell megválasztani, hogy a szabályozás stabilis legyen. Ezt a jelenséget tapasztaljuk például zuhanyozáskor, ha nem várjuk meg, míg a beavatkozás, a hideg vagy meleg vízcsap állításának hatása a zuhanycsövön keresztül eléri testünket, és türelmetlenül újból és újból állítgatjuk a csapokat (2. ábra).
2. ábra A zuhanyozáskor labilis szabályozást érhetünk el, ha a beavatkozásnál nem várjuk meg a holtidő hatását
Néha előfordul, hogy maga a folyamat labilis, és a szabályozással kívánjuk stabilizálni. A 3. ábrán látható zsonglőr az eldőlni kívánó rudat (inverz ingát) stabilizálja a mozgásával, érzékeli a rúd helyzetét és sebességét és ennek megfelelően mozogva egyensúlyoz.
3. ábra A zsonglőr mozgásával stabilizálja a rúd mozgását
A 4. ábra a feladat automatikus szabályozással való megoldását szemlélteti.
4. ábra Inverz inga mozgásának stabilizálása automatikus szabályozással
A stabilitás fogalma, megfogalmazása
A stabilitás a rendszernek az a tulajdonsága, hogy egyensúlyi állapotából kimozdítva újra egyensúlyba képes kerülni.
Ha a rendszer nemlineáris, a stabilitás a bemenőjeltől és a munkaponttól is függ. Ebben az esetben a stabilitás nem a rendszernek, hanem a rendszer egy állapotának a jellemzője. Lineáris rendszer esetén a stabilitás a rendszer jellemzője, a rendszer struktúrájától és paramétereitől függ, de független a bemenőjeltől.
A stabilitásnak több meghatározása is létezik.
A magára hagyott rendszer stabilitása. A rendszer stabilis, ha nyugalmi állapotából kimozdítva majd magára hagyva visszatér eredeti állapotába. Ha eredeti állapotától eltávolodik, működése labilis. Határesetben nem tér ugyan vissza a nyugalmi állapotba, de nem is távolodik el attól, hanem annak a kitérítés mértékétől függő környezetében marad (például a kiindulási állapot körül korlátos amplitúdójú csillapítatlan lengéseket végez). Nemlineáris rendszereknél stabilisnak tekintjük a rendszert akkor is, ha a határesetben a kimozdítás után a nyugalmi állapot tetszőlegesen előírható kis környezetébe tér vissza. A rendszer aszimptotikusan stabilis, ha egyensúlyi állapotából való kimozdítása után visszatér kiindulási helyzetébe. Egy stabilis lineáris rendszer aszimptotikusan stabilis. Egy lineáris rendszer $w\left(t\right)$ súlyfüggvénye aszimptotikus stabilitás esetén lecsengő,
$\lim \limits_{t\to \infty } w\left(t\right)=0 $
illetve abszolút integrálható:
$\int _{0}^{\infty }\left|w\left(t\right)\right| {\rm d}t<\infty $
A gerjesztett rendszer stabilitása. Stabilis a rendszer, ha korlátos bemenőjelre korlátos kimenőjellel válaszol bármilyen kezdeti feltétel mellett. A gerjesztett rendszer stabilitását BIBO (Bounded-Input – Bounded Output) stabilitásnak is nevezik.
Lineáris rendszerben a stabilitás a rendszer tulajdonsága. A stabilitás nem függ a gerjesztés nagyságától. Ha egy lineáris rendszerben a magára hagyott rendszer stabilis, a gerjesztett rendszer is stabilis lesz. A stabilitás egyértelműen megítélhető valamilyen egyszerű bemenőjelre adott válaszból.
Belső stabilitás. Vizsgáljuk a szabályozási rendszerben valamennyi kimenőjel (kimenőjel, beavatkozójel, hibajel) alakulását valamennyi bemenőjel (alapjel, kimeneti és bemeneti zavarás) hatására. A rendszer stabilis, ha a vizsgált valamennyi korlátos bemenőjelre valamennyi kimenőjel is korlátos.
Ljapunov stabilitás. Lagrange energiaelmélete szerint egy rendszer akkor van egyensúlyban, ha potenciális energiája minimális. Ljapunov a rendszert leíró differenciálegyenlethez vagy állapotegyenlethez egy energia tulajdonságú ún. Ljapunov skalár függvény meghatározását írja elő. Ha ez a függvény az állapotváltozók vizsgált tartományában pozitív, és deriváltja negatív, a rendszer aszimptotikusan stabilis. Ljapunov vizsgálati módszerei elégséges feltételeket adnak nemlineáris rendszerek stabilitási viszonyainak meghatározására.
A folytonos idejű lineáris szabályozási rendszer stabilitásának matematikai megfogalmazása
A magára hagyott zárt szabályozási rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha a tranziens mozgását leíró időfüggvény csillapodó összetevőkből áll. A tranziens időfüggvény olyan exponenciális összetevők kombinációja, amelyek kitevői a rendszer karakterisztikus egyenletének a gyökei.
Irányítható és megfigyelhető rendszerben (amikoris a szabályozó zérusai nem ejtik ki a szakasz pólusait) a karakterisztikus egyenlet gyökei megegyeznek a zárt rendszer eredő átviteli függvényének pólusaival. A rendszert leíró differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete formailag megegyezik a zárt rendszer eredő átviteli függvényének nevezőjével.
Ugyanis a zárt rendszer eredő átviteli függvénye az $y$ kimenőjel és az $r$ alapjel között:
$T\left(s\right)=\frac{y\left(s\right)}{r\left(s\right)} =\frac{C\left(s\right)P\left(s\right)}{1+C\left(s\right)P\left(s\right)} =\frac{C\left(s\right)P\left(s\right)}{1+L\left(s\right)} $
A karakterisztikus egyenlet pedig formailag megegyezik az
$1+L\left(s\right)=0 $
egyenlettel. A karakterisztikus egyenlet gyökei tehát megegyeznek a zárt rendszer eredő átviteli függvényének pólusaival.
Ha a felnyitott kör átviteli függvénye racionális törtfüggvény, $L(s)=\frac{N(s)}{D(s)} $, ahol $N(s)$ és $D(s)$ polinomok, a karakterisztikus egyenlet a következő alakban is megadható:
$D(s)+N(s)=0 $
illetve
$a_{n} s^{n} +a_{n-1} s^{n-1} +...+a_{1} s+a_{0} =a_{n} (s-p_{1} )(s-p_{2} )...(s-p_{n} )=0 $
Ha a rendszert állapotegyenletével írjuk le, amelynek állapotmátrixa A, a karakterisztikus egyenlet a
$\det (sI-A)=0 $
összefüggéssel adható meg.
Az aszimptotikus stabilitásnak az a feltétele, hogy a zárt rendszer $p_{i} $ pólusai negatív valós részűek legyenek, mivel ezek eredményeznek időben lecsengő tranzienseket. A feltétel úgy is megfogalmazható, hogy a zárt szabályozási kör akkor aszimptotikusan stabilis, ha valamennyi pólusa a komplex számsík bal oldalára esik.
Ha bármelyik pólus a jobb oldali félsíkra esik, a rendszer labilis. Ha a bal oldali félsíkra eső pólusokon kívül a képzetes tengelyen az origóban is van pólus, a rendszerben integráló hatás van, és tranziense ugyancsak a végtelenbe tart. Ha a képzetes tengelyen egyszeres konjugált komplex pólusok vannak, a tranziensekben csillapítatlan lengések lépnek fel. Többszörös pólusok esetén a lengések növekvő amplitúdójúak. A gyakorlatban a zárt rendszernek csak az aszimptotikus stabilitása elfogadható.
A stabilitás vizsgálatához tehát a karakterisztikus egyenlet gyökeit kell meghatározni. A gyökök meghatározására zárt képlet csak a negyedfokú esetig létezik. Magasabbfokú egyenlet gyökeinek meghatározására numerikus eljárások alkalmazhatók. A gyökök és az algebrai egyenlet együtthatói között fennálló összefüggéseket felhasználó analitikus módszerek vannak annak eldöntésére, hogy a karakterisztikus egyenlet valamennyi gyöke bal oldali-e.
Stabilitásvizsgálat a gyökhelygörbe alapján
A gyökhelygörbe a karakterisztikus egyenlet gyökeit adja meg a komplex számsíkon, miközben a rendszer valamelyik paramétere (a leggyakrabban a körerősítés) nulla és végtelen között változik.
Ha a gyökök a bal oldali félsíkra esnek, a rendszer stabilis. A kritikus körerősítésnél a gyökhelygörbe metszi az imaginárius tengelyt. Azon körerősítéseknél, ahol a gyökhelygörbe átkerül a jobb oldali félsíkra, a rendszer labilissá válik.
A gyökhelygörbe alapján nemcsak a rendszer stabilitása dönthető el, hanem a gyökök elhelyezkedéséből a rendszer dinamikus tulajdonságai is hozzávetőlegesen meghatározhatók.
A gyökhelygörbe megrajzolásához elvileg a karakterisztikus egyenletet kell megoldani különböző paraméterértékek mellett. Megjegyezzük, hogy számos szabály könnyíti meg a gyökhelygörbe felrajzolását.
Az 5. ábra egy 3 pólust tartalmazó rendszer gyökhelygörbéjét mutatja. (A pólusokat az ábrán kereszttel jelöljük.) A zárt rendszernek is 3 pólusa van, amelyek közül 2 az erősítés növelésével konjugált komplex-szé válik, majd egy kritikus erősítés elérésekor 2 gyök az imaginárius tengelyre esik, és a zárt rendszer a stabilitás határára kerül, a rendszerben állandósult lengések jönnek létre. Ha az erősítést tovább növeljük, két gyök a jobb oldali félsíkra kerül és a zárt rendszer labilissá válik. Iktassunk a rendszerbe egy zérust. A gyökhelygörbét erre az esetre a 6. ábra mutatja. (A zérust körrel jelöljük.) A zérus maga felé „húzza” a gyökhelygörbe ágakat, amelyek most a bal oldali félsíkon maradnak. A zérus beiktatása stabilizálta a rendszert. Nagy erősítéseknél most is fellépnek a zárt rendszerben csillapodó lengések a konjugált komplex pólusok miatt.
5-6. ábra A zérus maga felé „húzza” a gyökhelygörbe ágakat
A Nyquist stabilitási kritérium
A gyökhelygörbe szemléletes képet ad a szabályozási kör karakterisztikus egyenlete gyökeinek alakulásáról egy változó paraméter függvényében, így átfogó képet kaphatunk a rendszer stabilitási és dinamikus viszonyairól.
Holtidős rendszerek esetén azonban a karakterisztikus egyenlet nem polinomiális egyenlet, így a gyökök csak közelítő eljárással határozhatók meg közelítően.
Ilyen esetben is alkalmazható azonban a Nyquist stabilitási kritérium. Itt ennek csak egyszerűsített esetével foglalkozunk, mikor maga a folyamat stabilis, és a visszacsatolás által válhat labilissá. A kritérium általános esetét a hivatkozott irodalmak tárgyalják.
A Nyquist kritérium alapján a felnyitott kör frekvenciadiagramjából következtethetünk a zárt rendszer stabilitására. A módszer szemléletes, és labilitás esetén könnyen megadható, hogyan célszerű a szabályozási kör struktúráját és paramétereit módosítani. A frekvenciafüggvény megfelelő alakításával – járulékos zérusok és pólusok beiktatásával – formálhatjuk a frekvenciafüggvényt a zárt kör előírt tulajdonságainak, stabilitásának, statikus és dinamikus tulajdonságainak biztosítására.
A csillapítatlan lengés kialakulásának szemléltetése a frekvenciatartományban
A zárt szabályozási rendszer karakterisztikus egyenlete $1+L\left(s\right)=0$, ahol $L(s)$ a felnyitott kör átviteli függvénye. $s=j\omega $ helyettesítéssel vizsgálhatjuk, hogy az egyenletnek van-e megoldása az imaginárius tengelyen. Ha van olyan $\omega _{0} $ frekvencia, amelyre teljesül az $1+L(j\omega _{0} )=0$, illetve az $L(j\omega _{0} )=-1$ feltétel, a zárt rendszerben ezen a körfrekvencián csillapítatlan lengések keletkeznek, a rendszer a stabilitás határára kerül. Ekkor a felnyitott kör Nyquist diagramja áthalad a komplex számsík $-1+j0$ pontján.
A csillapítatlan lengés kialakulását a következőképpen szemléltethetjük. Tekintsük a 7. ábrán látható szabályozási kört. A felnyitott kör Nyquist diagramja az $\omega _{0} $ körfrekvencián áthalad a -1 ponton. Képzeletben nyissuk fel a rendszert a B-K pontnál. Legyen a rendszer $r$ alapjele $\omega _{0} $ körfrekvenciájú szinuszos jel. Ezt a jelet a rendszer azonos amplitudóval, de ellenkező előjellel viszi át. Ha most a B-K pontokat összekötjük, a negatív visszacsatolás miatt az e hibajel megegyezik a bemeneti szinuszos jellel. Ez a csillapítatlan szinuszos jel akkor is fennmarad a rendszerben, ha az alapjelet megszüntetjük. Ilyen frekvenciájú lengések jönnek létre a rendszerben akkor is, ha az alapjel az adott szinuszos jeltől eltérő, más determinisztikus jel, például egységugrás. Ugyanis az alapjel frekvenciaspektrumában valamennyi frekvencia előfordul, ezekből a szinuszos összetevőkből az alapjel felépíthető. Az $\omega _{0} $ körfrekvenciájú összetevő a rendszerben fennmarad.
7. ábra A Nyquist diagram a stabilitás határhelyzetében áthalad a -1 ponton
Az egyszerűsített Nyquist stabilitási kritérium
Tételezzük fel, hogy a felnyitott kör átviteli függvényének nincsenek jobb oldali pólusai, tehát a felnyitott rendszer stabilis.
Rajzoljuk fel a frekvenciafüggvényt a komplex számsíkon az $-\infty <\omega <\infty $ tartományra (teljes Nyquist diagram). Járjuk körül a Nyquist diagramot a növekvő frekvenciák irányában.
Ha a Nyquist diagram nem veszi körül a $-1+j0$ pontot, a zárt szabályozási kör stabilis.
Ha a Nyquist diagram áthalad a $-1+j0$ ponton, a rendszer a stabilitás határán van.
Ha a Nyquist diagram körülveszi a $-1+j0$ pontot, a rendszer labilis.
Egyszerűbb megfogalmazásban: Elegendő a Nyquist diagramot a pozitív $\omega $ értékekre felrajzolni. Ha a diagramot $\omega =0$-tól $\infty $-ig végigjárjuk, és a $-1+j0$ pont a görbétől bal kéz felé esik, a zárt szabályozási rendszer stabilis. Ha a görbe áthalad a $-1+j0$ ponton, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a $-1+j0$ pont a görbétől jobb kéz felé esik, a rendszer labilis. (A bizonyítás a hivatkozott irodalomban megtalálható.)
Ezek szerint a 8. ábrán a $K_{1} $ erősítéssel a rendszer stabilis, míg a $K_{2} $ erősítéssel labilis.
8. ábra Háromtárolós rendszer stabilitása
Példa
A felnyitott kör átviteli függvénye: $L\left(s\right)=\frac{K}{\left(1+sT\right)^{3} } $. Merev (egységnyi) negatív visszacsatolást alkalmazunk. Határozzuk meg a $K_{krit} $ kritikus erősítést, amelynél a zárt szabályozási kör a stabilitás határára kerül.
A felnyitott kör Nyquist diagramját a stabilitás határhelyzetében a 9. ábra mutatja.
9. ábra A felnyitott kör Nyquist diagramja
A Nyquist diagram az $\omega _{0} $ körfrekvencián áthalad a komplex számsík -1 pontján. Ezen a körfrekvencián a frekvenciafüggvény fázisszöge -180˚, abszolút értéke pedig 1.
$\varphi \left(\omega _{0} \right)=-3arctg\omega _{0} T=-180^{\circ } $, ahonnan $\omega _{0} T=\sqrt{3} $,
$\frac{K_{krit} }{\left(\sqrt{1+\omega _{0}^{2} T^{2} } \right)^{3} } =1$ tehát $K_{krit} =8$ függetlenül a $T$ időállandó értékétől.
A stabilitás mutatószámai
Stabilis felnyitott kör esetén tehát a zárt szabályozási kör akkor stabilis, ha a Nyquist diagram nem veszi körül a $-1+j0$ pontot. Mondhatjuk, hogy a rendszernek stabilitási tartaléka van, ha a Nyquist diagramot „kellően távol tartjuk” a $-1+j0$ ponttól.
Definiálhatunk mérőszámokat, amelyek jelzik, milyen messze van a felnyitott rendszer Nyquist diagramja a $-1+j0$ ponttól. Ilyen mérőszámok a fázistartalék vagy fázistöbblet (phase margin), az erősítési tartalék (gain margin), a modulus tartalék (modulus margin) és a késleltetési tartalék (delay margin).
Fázistartalék vagy fázistöbblet
Rajzoljuk fel a felnyitott rendszernek a pozitív frekvencia értékekhez tartozó Nyquist diagramját. Határozzuk meg a Nyquist diagramnak az egységsugarú körrel való metszéspontját. A metszésponthoz tartozó körfrekvenciát vágási körfrekvenciának nevezzük és $\omega _{c} $-vel (cut-off frequency) jelöljük. Kössük össze egy egyenessel az origót és metszéspontot. Ennek az egyenesnek a negatív valós tengellyel bezárt szögét fázistartaléknak vagy fázistöbbletnek nevezzük (10. ábra).
10. ábra A fázistöbblet értelmezése
A fázistöbblet kifejezése:
$\varphi _{t} =\varphi \left(\omega _{c} \right)+180^{\circ } $
Ha a fázistöbblet pozitív, a rendszer stabilis. Ha fázistöbblet zérus, a rendszer a stabilitás határán van. Ha a fázistöbblet negatív, a rendszer labilis.
Tehát
$\varphi _{t} >0$ Stabilis rendszer
$\varphi _{t} =0$ Határhelyzet
$\varphi _{t} <0$ Labilis rendszer
A fázistöbblet, mint egyetlen mérőszám alapján akkor ítélhetjük meg a rendszer stabilitását, ha a Nyquist diagram csak egyszer metszi az egységsugarú kört.
Erősítési tartalék
Határozzuk meg a Nyquist diagramnak a negatív valós tengellyel való metszékét. Ha ez az érték $\kappa <1$, a rendszer stabilis. Ha $\kappa =1$, a rendszer a stabilitás határán van. Ha $\kappa >1$, a rendszer labilis. A $\kappa $ metszék reciprokát erősítési tartaléknak nevezzük. Az erősítési tartalék értékével megszorozva a körerősítést, a kritikus körerősítés értékét kapjuk meg.
Tehát
$\kappa <1$ Stabilis rendszer
$\kappa =1$ Határhelyzet
$\kappa >1$ Labilis rendszer
Az erősítési tartalék, mint egyetlen mérőszám alapján akkor ítélhetjük meg a rendszer stabilitását, ha a Nyquist diagram csak egyszer metszi negatív valós tengelyt.
A stabilitás mellett a megfelelő tranziens viselkedéshez, a zárt rendszer átmeneti függvényében a kb. 10% alatti túllendülés biztosításához a megkívánt fázistöbblet 60˚ körüli, az erősítési tartalék megkívánt értéke pedig kb. 2. Ezek az értékek akkor mérvadók, ha a felnyitott körben nincsenek kis csillapítási tényezőjű lengő tagok.
Késleltetési tartalék
A késleltetési tartalék megadja a holtidőnek azt a $\tau _{m} $ legkisebb értékét, amelyet a felnyitott körbe sorosan beiktatva a zárt rendszer a stabilitás határára kerül. A késleltetési tartalék a radiánban mért fázistöbbletből az alábbi összefüggéssel számítható ki:
$\tau _{m} =\frac{\varphi _{t} }{\omega _{c} } $, ahol $\omega _{c} $ a vágási körfrekvenciát jelöli.
A stabilitási tartalékok alapján nemcsak a stabilitást dönthetjük el, hanem azt is megállapíthatjuk, „milyen messze van” a rendszer a stabilitás határától.
A stabilitás megítélése a Bode diagramból
A fázistöbblet és az erősítési tartalék a felnyitott rendszer Bode diagramjából is leolvasható. Az $\omega _{c} $ vágási körfrekvenciánál a frekvenciafüggvény abszolút értéke egységnyi. A Bode amplitúdó-körfrekvencia jelleggörbe ennél a frekvenciánál metszi a vízszintes nulla dB tengelyt. Az ehhez a körfrekvenciához tartozó fázisszögnek a -180˚-tól való eltérése adja a fázistöbbletet. A $\varphi =-180^{\circ } $-hoz tartozó frekvenciánál leolvasott abszolút érték meadja a $\kappa $ paraméter értékét dB-ben, amiből meghatározható az erősítési tartalék (11. ábra).
11. ábra A stabilitás megítélése a Bode diagramból
Ha a felnyitott kör minimumfázisú (átviteli függvénye nem tartalmaz jobb oldali zérusokat és pólusokat), továbbá a szabályozási kör nem tartalmaz holtidős tagot, a stabilitás igen egyszerűen megállapítható a felnyitott kör közelítő amplitúdó-körfrekvencia görbéje alapján.
Egy minimumfázisú holtidőmentes szabályozási rendszer stabilis, ha a felnyitott kör aszimptotikus Bode diagramja a -20dB/dekád meredekségű szakaszon metszi a frekvenciatengelyt. A rendszer biztosan labilis, ha a metszés meredeksége -60dB/dekád vagy ennél nagyobb. Ha a metszési szakasz meredeksége -40dB/dekád, a rendszer lehet stabilis vagy labilis is, de fázistartaléka biztosan megengedhetetlenül kicsi. (Az állítások igazolása megtalálható a hivatkozott irodalomban.) A stabilitás biztosításához tehát a vágási körfrekvenciának -20dB/dekád meredekségű szakaszra kell esnie. (Ez a szakasz legyen elegendően hosszú, hogy a fázistöbblet is megfelelő, 60°körüli legyen.)
Hivatkozások:
Keviczky, Bars, Hetthéssy, Barta, Bányász. Szabályozástechnika, 2009, Műegyetemi Kiadó, 55079 with the agreement of the authors.
Åström, K.J., Murray, R.M. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.
Szilágyi, B. Szabályozástechnika. Számítógépes gyakorlatok. Irányítástechnika és Informatika Tanszék, 1998.