Irányíthatóság és megfigyelhetőség
Állapot megfigyelhetőség:
adott $(A,B,C)$. Mi a feltétele annak, hogy az $x(t)$ állapotokat minden a $t\ge t_0$ időpontra meghatározhassuk a rendszer jövőbeli input és output függvényeinek ismeretében?
Az $O_n(C,A)$ mátrixot a rendszer megfigyelhetőségi mátrixának nevezzük.
$$O_n= \begin{bmatrix} C & C A & \ldots & C A^{n-1} \end{bmatrix}^T.$$
Állapot irányíthatóság:
adott $(A,B,C)$, és $x(t)$ a $t=t_0=0$ időpontban. Mi a feltétele annak, hogy találjunk olyan $u(t)$, $t\ge t_0$ irányítást, amely a rendszert véges $T$ idő alatt az $x(0)$ állapotból egy tetszőleges $x(T)$, $x(T)\neq x(0)$ állapotba vigye?
Az $C_n(A,B)$ mátrixot a diszkrét idejű rendszer irányíthatósági mátrixának nevezzük:
$$C_n=\begin{bmatrix}
B & A B & \ldots & A^{n-1}B
\end{bmatrix}.
$$
Egy rendszer $(A,B,C)$ állapottér reprezentációja minimál reprezentáció, ha együttesen irányítható és megfigyelhető.
Kálmán-féle rangfeltétel
Egy $(C,A)$ pár akkor és csak akkor megfigyelhető, ha megfigyelhetőségi mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz
$$
\mbox{rang}\left\{O_n(C,A)\right\}=n.
$$
Egy $(A,B)$ pár akkor és csak akkor irányítható, ha irányíthatósági mátrixuk rangja megegyezik az állapottér dimenziójával, azaz
$$
\mbox{rang}\left\{C_n(A,B)\right\}=n.
$$
Tehát egy rendszer $(A,B,C)$ állapottér reprezentációja minimál reprezentáció, ha
$$
\mbox{rang}\left\{C_n(A,B)\right\}
=\mbox{rang}\left\{O_n(C,A)\right\}
=n.
$$
Kálman féle dekompozíció:
az irányíthatóság és megfigyelhetőség koncepciója lehetővé
teszi, hogy megértsük egy lineáris rendszer struktúráját.
Lineáris rendszerek négy alrendszerre bonthatók:
- $S_{co}$ irányítható és megfigyelhető
- $S_{c\bar o}$ irányítható és nem megfigyelhető
- $S_{\bar co}$nem irányítható és megfigyelhető
- $S_{\overline{co}}$ nem irányítható és nem megfigyelhető
$$
\begin{bmatrix}\dot x_{co} \\ \dot x_{c\bar o}\\ \dot x_{\bar co} \\ \dot x_{\overline{co}}\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
A_{11} & 0 & A_{13 }& 0 \\
A_{21} & A_{22} & A_{23 }& A_{24} \\
0 & 0 & A_{33 }& 0 \\
0 & 0 & A_{43 }& A_{44} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}x_{co}\\ x_{c\bar o}\\ x_{\bar co} \\ x_{\overline{co}}\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}u
$$
$$
y =\begin{bmatrix} C_1 & 0 & C_2 & 0\end{bmatrix}x +Du
$$