Energiaszemlélet
Newton – Lagrange - Hamilton mozgásegyenletei
A külső világról való alapvető tapasztalatunk a dolgok mozgása, változása, a dolgok dinamikus természete. A tárgyak mechanikai mozgását, az égitestek mozgását, a változók alakulását egy műszaki, vegyi, biológiai, gazdasági folyamatban illetve ezek szabályozásában egyensúlyi és mozgásegyenletekkel írhatjuk le. Mind állandósult állapotban mind pedig a dinamikus változáskor a mozgás energiaegyensúlyi feltételeknek tesz eleget.
Galilei és Newton a mechanikai testek mozgásának összefüggéseit figyelték meg és írták le. Euler, Lagrange és Hamilton a mozgást a test energia viszonyainak leírásával jellemezték. Megadták a mozgás és az egyensúlyi helyzet közötti összefüggéseket, definiálva és vizsgálva a potenciális (helyzeti) és a kinetikus (mozgási) energia egyensúlyait és kapcsolatukat a testek dinamikus mozgásával. Az energiamegmaradás elve fennáll a mozgás minden pillanatában.
Alap tapasztalatunk a geometriai térben történő mozgásokhoz kapcsolódik. Például a szabadon eső test a newtoni alapegyenlet törvénye szerint mozog (erő=tömeg x gyorsulás), miközben összenergiája (helyzeti+mozgási energia) állandó.
A háromdimenziós térben a test mozgásának leírásakor a három derékszögű (ortogonális, karteziánus) koordinátában adjuk meg a test helyzetét és sebességét, amelyek változását vizsgáljuk az idő függvényében. A sebesség változása helyett elemezhetjük az impulzus változását. Az impulzus a tömeg és a sebesség szorzata.
Az elvek általánosíthatók nem mechanikai jellegű folyamatok tanulmányozására is. A térbeli koordináták helyett bevezethetők az általános hely és impulzuskoordináták és ezekkel a dinamikus folyamatok mozgásegyenletei megadhatók. Egy villamos, hőtechnikai, kémiai, biológiai, gazdasági, stb. rendszert vizsgálva annak változói nem geometriai helyzetek, hanem általános változók, amelyekhez ún.általános koordinátákat rendelhetünk. A geometriai impulzus helyett általános impulzus koordinátákat vezethetünk be. Az általános helykoordinátákat $q$-val, az általános impulzuskoordinátákat $p$-vel jelöljük.
Egy rendszerre ható erők lehetnek konzervatív vagy disszipatív erők. A konzervatív erő a tér minden pontjában egy skalárfüggvény (potenciál) gradienseként számítható. A konzervatív erők által végzett munka független az úttól. Mechanikai rendszer esetén disszipatív erő pl. a súrlódási erő, amely a tömegpont sebességétől függ.
A rendszer mozgása sokszor kényszerfeltételeknek kell, hogy eleget tegyen. Pl. egy inga körmozgást végez, amelynek sugarát az inga rúdjának hossza határozza meg. A kényszert holonom kényszernek nevezzük, ha a kényszerfeltétel felírható $\phi(q_1, q_2, \dots, q_n)$ alakban. Holonom mechanikai rendszerről beszélünk, ha minden kényszer geometriai.
A mechanikában Newton mozgásegyenleteit (erő=tömeg x gyorsulás) koordinátánként, a kényszerek figyelembe vételével írjuk fel.
Lagrange a rendszer energiája segítségével, általános koordinátákkal adja meg a mozgásegyenleteket. Ez a leírás már eleve figyelembe veszi a kényszereket.
Az $L$ Lagrange függvény a $T$ kinetikus és az $U$ potenciális energia különbsége. A kinetikus energia függ az általános koordinátáktól és azok deriváltjaitól (általános sebességkoordináták), a potenciális energia csak az általános koordinátáktól függ.
$L=T(q_1, q_2, \dots, q_n, \dot q_1, \dot q_2, \dots, \dot q_n)-U(q_1, q_2, \dots, q_n)$
A legkisebb hatás elve szerint a rendszer a $t_1$ és $t_2$ időpontok között úgy mozog, hogy az $S$ hatásfüggvény, amely a Lagrange függvény integrálja, $S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q)dt$ minimális legyen.
Ebből vezethetők le a Lagrange mozgásegyenletek.
(Johann Bernoulli 1696-ban vetette fel azt a kérdést, hogy a gravitációs térben mozgó test két rögzített pont között elmozdulva milyen trajektórián mozog, ha a mozgás a legrövidebb idő alatt játszódik le (brachystochrone ’legrövidebb idő – brákhistos khrónos’ probléma). Ennek megoldása vezetett el a variációszámításhoz és a Lagrange egyenlet levezetéséhez.)
A Lagrange mozgásegyenletek holonom és konzervatív rendszerek esetén:
$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0; i=1,2, \dots, n
$$
(Ez az Euler-Lagrange egyenlet.)
Átalakítva:
$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q_i}}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=-\frac{\partial U}{\partial q_i}; i=1,2, \dots, n
$$
Ha a rendszer nem konzervatív, hat rá egy $f$ külső erő és egy disszipatív erő, amely a $D$ disszipációs (pl. súrlódási) energia sebesség koordináta szerinti deriváltja, a Lagrange mozgásegyenletek a következőképpen írhatók fel:
$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q_i}}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=f_i-\frac{\partial D}{\partial \dot q_i}; i=1,2, \dots, n
$$
illetve
$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial\dot{q_i}}-\frac{\partial T}{\partial q_i}=f_i-\frac{\partial U}{\partial q_i}-\frac{\partial D}{\partial \dot q_i}; i=1,2, \dots, n
$$
Szabályozástechnikai szempontból felvethető az a kérdés, hogy egy adott irányítási cél, egy adott mozgás egy kezdeti pontból egy végpontba milyen $f_i$ beavatkozó hatásokkal érhető el.
A Hamilton függvény (Hamilton után $H$-val jelölve) a kinetikus és a potenciális energia összege:
$$H(q,p)=T(q,p)+U(q)$$
A Hamilton-i egyenletek:
$$
\frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q}; \frac{dq}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial p}
$$
Az egyenletek az egyes koordinátákra külön-külön is felírhatók.
$$
\frac{dp_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}; \frac{dq_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial p_i}; i=1,2, \dots, n
$$
Az energiamegmaradás törvénye alapján a rendszer teljes energiája, a Hamilton függvény értéke a mozgás során állandó kell legyen. Ha az egyensúly nem áll fenn a helyzeti és a mozgási energiákra, veszteségi energia is fellép a rendszerben (pl. súrlódási vagy hőveszteség, stb.).